四元数又是什么呢？简单来说，四元数本质上是一种高阶复数（听不懂了吧。。。），是一个四维空间，相对于复数的二维空间。我们高中的时候应该都学过复数，一个复数由实部和虚部组成，即x = a + bi，i是虚数单位，如果你还记得的话应该知道i^2 = -1。而四元数其实和我们学到的这种是类似的，不同的是，它的虚部包含了三个虚数单位，i、j、k，即一个四元数可以表示为x = a + bi + cj + dk。那么，它和旋转为什么会有关系呢？

 

在Unity里，tranform组件有一个变量名为rotation，它的类型就是四元数。很多初学者会直接取rotation的x、y、z，认为它们分别对应了Transform面板里R的各个分量。当然很快我们就会发现这是完全不对的。实际上，四元数的x、y、z和R的那三个值从直观上来讲没什么关系，当然会存在一个表达式可以转换，在后面会讲。

 

大家应该和我一样都有很多疑问，既然已经存在了这两种旋转表示方式，为什么还要使用四元数这种听起来很难懂的东西呢？我们先要了解这三种旋转方式的优缺点：

 

• 矩阵旋转

• 优点：

• 旋转轴可以是任意向量；

• 缺点：

• 旋转其实只需要知道一个向量+一个角度，一共4个值的信息，但矩阵法却使用了16个元素；

• 而且在做乘法操作时也会增加计算量，造成了空间和时间上的一些浪费；
  
  

• 欧拉旋转

• 优点：

• 很容易理解，形象直观；

• 表示更方便，只需要3个值（分别对应x、y、z轴的旋转角度）；但按我的理解，它还是转换到了3个3*3的矩阵做变换，效率不如四元数；

• 缺点：

• 之前提到过这种方法是要按照一个固定的坐标轴的顺序旋转的，因此不同的顺序会造成不同的结果；

• 会造成万向节锁（Gimbal Lock）的现象。这种现象的发生就是由于上述固定坐标轴旋转顺序造成的。理论上，欧拉旋转可以靠这种顺序让一个物体指到任何一个想要的方向，但如果在旋转中不幸让某些坐标轴重合了就会发生万向节锁，这时就会丢失一个方向上的旋转能力，也就是说在这种状态下我们无论怎么旋转（当然还是要原先的顺序）都不可能得到某些想要的旋转效果，除非我们打破原先的旋转顺序或者同时旋转3个坐标轴。这里有个视频可以直观的理解下；

• 由于万向节锁的存在，欧拉旋转无法实现球面平滑插值；
  
  

• 四元数旋转

• 优点：

• 可以避免万向节锁现象；

• 只需要一个4维的四元数就可以执行绕任意过原点的向量的旋转，方便快捷，在某些实现下比旋转矩阵效率更高；

• 可以提供平滑插值；

• 缺点：

• 比欧拉旋转稍微复杂了一点点，因为多了一个维度；

• 理解更困难，不直观；

首先，单位四元数才能表示旋转，比如一个单位四元数可以写为



表示将一个向量绕(x,y,z)轴旋转 theta/2 度。

只要将一个向量看成四元数，然后乘以这个四元数即可。比如一个向量(w,x,y,z)为(0,1,2,3),
那么利用四元数的乘法，用(0,1,2,3)*q即可

哈密尔顿

为了纪念四元数的发明者哈密尔顿,爱尔兰于1943年11月15日发行了下面这张邮票: 

哈密尔顿简直是个天才,哈密尔顿从小到进入大学之前没有进过学校读书，他的教育是靠叔父传授以及自学。他找到了法国数学家克莱罗（Clairaut）写的《代数基础》一书，很快就学会了代数，然后看牛顿写的《数理原理》。在16岁时就读法国著名数学家和天文学家拉普拉斯（Laplace）五册的《天体力学》，他发现拉普拉斯关于力的平行四边形法则的证明的错误. 

四元数的概念是由爱尔兰数学家Sir William Rowan Hamilton发明的（1843年，都柏林）。Hamilton当时正和他的妻子前往爱尔兰皇家研究院，当他从Brougham桥通过皇家运河时，他领悟到了一个激动人心的东西，并立刻把它刻在桥的一个石头上：

i2=j2=k2=ijk=−1

i2=j2=k2=ijk=−1

 

关于哈密尔顿的介绍可以看这篇博客: 邮票上的数学家(10)哈密尔顿(爱尔兰)

四元数旋转推导过程

1.基本概念

(1) 四元数的一般形式如下:q=q0+q1i+q2j+q3kq=q0+q1i+q2j+q3k 

(2) 单位四元数:满足四元数的模为1,即q02+q12+q22+q32=1q02+q12+q22+q32=1 

(3) 四元数的三角形式:q=cosθ2+u⃗ sinθ2q=cosθ2+u→sinθ2 

(4)共轭四元数:q∗=q0−q1i−q2j−q3kq∗=q0−q1i−q2j−q3k 

(5) 纯四元数:q=q1i+q2j+q3kq=q1i+q2j+q3k 

(6)四元数与空间旋转:

Rq(p)=qpq−1

Rq(p)=qpq−1

其中: 

qq:单位四元数 

q−1q−1:四元数的逆,对于单位四元数, q∗=q−1q∗=q−1 

pp:纯四元数 

Rq(p):也是一个纯四元数Rq(p):也是一个纯四元数

2. 欧拉角的万向锁问题

先看一个简单的欧拉旋转，如下图所示：欧拉旋转需要先确定旋转顺序，我们可以定义X-Y-Z的顺序（总共有12种旋转顺序），那么什么是万向锁呢，我们可以用手机在桌子上进行旋转，以手机的正面为xy平面，以手机的厚度的方向作为z轴，我们先绕x转一个角度，然后再绕y轴旋转90度，我们会发现一个问题，当我们再绕z轴旋转一个角度，效果等同于我开始绕x轴旋转另外一个角度,再绕y轴旋转90度就行了. 

 

我们的欧拉旋转只能表示二维空间了，这是解我们的微分方程会出现退化现象，造成我们的微分方程无法解的情况。这样说似乎还是比较模糊，那么我们举一个例子: 

如图所示:XwYwZwXwYwZw是世界坐标系,XiYiZiXiYiZi是机体坐标系,我们先绕XiXi轴旋转30∘30∘,再绕YiYi旋转90∘90∘,如下图所示: 

 

此时我们的XwXw和ZiZi在同一直线上,最后我们再绕ZiZi旋转40∘40∘,如下图所示: 

 

我们会发现一个问题，无论我们怎么旋转，我们的坐标都是（30,90，z）,也就是绕z轴的旋转角度我们无法衡量的，这也就是我们的万向锁问题。

3. 四元数推导

复数旋转

首先我们看一个复数p=a+bip=a+bi在复平面的表示: 

现在我们将它旋转角度θθ,先定义另外一个复数q=cosθ+isinθq=cosθ+isinθ,我们发现,复数的乘法表示了一种旋转: 

qp=(acosθ−bsinθ)+i(asinθ+bcosθ)

qp=(acosθ−bsinθ)+i(asinθ+bcosθ)

这个复数恰好就是 pp旋转θθ角度后的值: 

三维复数旋转

我们看到了二维复数乘法可以表示旋转，那么三维空间呢。按照举一反三的思想，我们会想到再增加一个虚数作为第三个维度，这个就要涉及到我们的向量的叉乘，如下图所示： 

 

向量叉乘的结果是两个向量构成平面的垂直向量,那么我们定义两个个三维的复数: 

z1=a1+b1i+c1jz2=a2+b2i+c2j

z1=a1+b1i+c1jz2=a2+b2i+c2j

其中 i2=j2=−1i2=j2=−1,我们类似的进行复数的乘法,得到: 

z1z2=(a1a2−b1b2−c1c2)+(a1b2+a2b1)i+(a1c2+a2c1)j+b1c2ij+b2c1ji

z1z2=(a1a2−b1b2−c1c2)+(a1b2+a2b1)i+(a1c2+a2c1)j+b1c2ij+b2c1ji

我们会发现,如果没有 ij和jiij和ji这两项,我们三维的复数旋转也就没问题,那该如何处理呢?

四元数旋转

哈密尔顿引入四维的四元数:q=q0+q1i+q2j+q3k,其中i2=j2=k2=−1q=q0+q1i+q2j+q3k,其中i2=j2=k2=−1,根据向量的叉乘可以定义下列一些关系: 

 

 

 

 

可以得到下列关系: 

ij=−ji=kjk=−kj=iki=−ik=ji2=j2=k2=ijk=−1

ij=−ji=kjk=−kj=iki=−ik=ji2=j2=k2=ijk=−1

为了方便理解,我们将四元数写成向量的形式: q=[s,v⃗ ]q=[s,v→],我们可以理解为 ss为实部,向量v⃗ v→表示的就是三维空间,下面我们看一下四元数的乘法: 

qa=[sa,a⃗ ]qb=[sb,b⃗ ]qaqb=[sasb−a⃗ ⋅b⃗ ,sab⃗ +sba⃗ +a⃗ ×b⃗ ]

qa=[sa,a→]qb=[sb,b→]qaqb=[sasb−a→⋅b→,sab→+sba→+a→×b→]

由于我们研究的是三维空间,因此我们可以令 qaqa为一个纯四元数,即 qa=[0,a⃗ ]qa=[0,a→].则可以得到:

qaqb=[−a⃗ ⋅b⃗ ,sba⃗ +a⃗ ×b⃗ ]

qaqb=[−a→⋅b→,sba→+a→×b→]

从上面可以看到,一个普通的四元数是无法将三维空间映射到三维空间的,我们令向量点乘的部分为零,此时,一个纯四元数就可以旋转为另一个纯四元数.为了表现出旋转,这里我们用四元数的三角表示方式: qb=[cosθ,sinθb⃗ ]qb=[cosθ,sinθb→],令 a⃗ ⋅b⃗ =0a→⋅b→=0,则有: 

qaqb=[0,a⃗ cosθ+a⃗ ×b⃗ sinθ]

qaqb=[0,a→cosθ+a→×b→sinθ]

我们没有对向量 b⃗ b→做任何限制,下面来用一个例子说明应当对向量 b⃗ b→做什么限制. 

令 p=[0,2i],q=[2√2,2√2b⃗ ]p=[0,2i],q=[22,22b→],考虑到 a⃗ ⋅b⃗ =0a→⋅b→=0,令 b⃗ =|b⃗ |kb→=|b→|k,则将 pp旋转45∘45∘后得到: 

p′=qp=[0,2–√|b⃗ |i+2–√|b⃗ |j]

p′=qp=[0,2|b→|i+2|b→|j]

旋转之前,纯四元数 pp的模长为|p|=2|p|=2,旋转过后,纯四元数 p′p′的模长 |p′|=2|b⃗ ||p′|=2|b→|,所以我们要给旋转四元数又加上一个约束:四元数 qq的模长为1,即qq是一个单位四元数.

但是上面的旋转是有缺点的,因为其限制了我们的旋转轴和需要被旋转的四元数必须是垂直的(a⃗ ⋅b⃗ =0a→⋅b→=0),而不能达到任意的旋转.这时,聪明的哈密尔顿发现,一个四元数会把一个纯四元数拉到四维空间,但它的共轭又会把这个四维的空间拉回到三维空间.我们以一个简单的例子来说明这个问题: 

p=[0,2i],q=[fracsqrt22,fracsqrt66(i+j+k)],则q∗=[fracsqrt22,−fracsqrt66(i+j+k)]

p=[0,2i],q=[fracsqrt22,fracsqrt66(i+j+k)],则q∗=[fracsqrt22,−fracsqrt66(i+j+k)]

旋转之后的四元数 Rq(p)Rq(p): 

Rq(p)=[0,2j]

Rq(p)=[0,2j]

这里需要注意的一点是,因为经过两次的旋转,所以旋转的角度是 2θ2θ,这就是为什么我们常常看到的旋转四元数是一下形式: 

q=cosθ2+u⃗ sinθ2,其中|u⃗ |=1

q=cosθ2+u→sinθ2,其中|u→|=1

Quaternions – Ken Shoemake

对于一个轴已经固定的轮子来说，只要一元数字来表示旋转，就是旋转的角度;
对于空间的物体，用三元(维)数字(就是三维立体坐标，或者向量)可以描述他旋转的轴(或方向)，一元(维)数可以表示旋转的角度